proguide.dk

Trekantede omkredse

Trekantomkreds
Opgave

  • Nedenfor er et billede af to trekanter med toppunkter på koordinatgitterpunkter:
  • Hvad er omkredsen af △ABC og △PQR?
  • Hvad er den mindste mulige omkreds for en trekant med spidser på gitterpunkter og med hele tals sidelængder? Forklar.
  • IM-kommentar

Formålet med denne opgave er at anvende Pythagoras sætning til at beregne afstande og arealer. Mens den første del af opgaven er rutine, kræver del (b) kreativt initiativ for at argumentere for, at alle sager er blevet behandlet. Den generelle smag af denne opgave ligner http://www.illustrativemathematics.org/illustrations/1684. Læreren ønsker måske at give eleverne et billede af en (5,12,13) retvinklet trekant, hvor benet med længde 5 er hypotenusen af en (3,4,5) retvinklet trekant for at give dem et hint til del (b) .

Der er et meget udfordrende opfølgningsspørgsmål, som læreren kan stille, hvis det ønskes: hvad er det mindste mulige areal for en trekant med hjørner på gitterpunkter og med hele tals sidelængder? Dette er et vanskeligt problem, fordi det kræver at finde (eller afgrænse) arealet af en trekant i forhold til dens sidelængder. Det kan for eksempel gøres via Heron’s Formula, http://en.wikipedia.org/wiki/Heron%27s_formula selvom dette er et avanceret resultat. Dette spørgsmål giver en vis motivation til at studere Herons formel som et særligt projekt.

Løsning
For at finde omkredsen af △ABC bruger vi Pythagoras sætning, som fortæller os, at | AB|2=|AC|2+|BC|2.
Da |AC|=5 og |BC|=12 finder vi, at |AB|=169−−−√=13. Omkredsen af △ABC er da 5+12+13=30 enheder. For omkredsen af △PQR finder vi tilsvarende, at |PR|=3, |QR|=7 og |PR|=58−−√. Så omkredsen af △PQR er 10+58−−√ enheder.

Del (a) producerer en trekant, hvis omkreds er 30 enheder med tre hele tal sidelængder. Der er retvinklede trekanter med kortere heltals sidelængder som (6,8,10) og (3,4,5). (3,4,5) trekanten har omkreds 12 enheder. For at se, om der kan være en trekant med omkreds mindre end 12 enheder, kan vi begynde med at undersøge, hvilke små hele tallængder, der er mulige med toppunkter på koordinatgitterpunkter. Længder på 1, 2, 3 og 4 enheder er alle mulige, men kun hvis segmentet er lodret eller vandret. For at se hvorfor skal du bemærke, at ethvert linjestykke, der ikke er lodret eller vandret, er hypotenusen af en trekant med en lodret side og en vandret side, hvis hjørner alle har heltalskoordinater. Dette ville betyde, at den givne segmentlængde c skal opfylde c2=a2+b2, hvor a og b er positive hele tal. Ved at prøve og fejle kan vi kontrollere, at c=5 er det mindste positive heltal, som vi kan løse denne ligning for.

Hvis △ABC har toppunkter med heltalskoordinater, så vi lige, at enhver side, der ikke er vandret eller lodret skal have en længde på mindst 5 enheder. Hvis præcis den ene side ikke er lodret eller vandret, betyder det, at 12 enheder er den mindst mulige omkreds, opnået for (3,4,5) trekanten studeret ovenfor. Hvis to sider ikke er lodrette, vil den eneste mulighed med en omkreds mindre end 12 enheder være en (5,5,1) ligebenet trekant med siden med længde 1 enten lodret eller vandret. Dette er ikke muligt, og det er heller ikke en (5,5,2) trekant, hvor siden af længde 2 enheder er vandret eller lodret. Derfor er den mindst mulige omkreds for disse trekanter 12 enheder, og dette sker kun for den (3,4,5) retvinklede trekant med en vandret og en lodret side.